Question

已知抛物线S的顶点在原点,焦点在x轴上，△ABC三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线的方程为l：4x十y－20＝0．

(Ⅰ)求抛物线S的方程；

(Ⅱ)若O是坐标原点，问：是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线S交于P、Q两点，且∠POQ＝？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设抛物线S的方程为＝2px，把直线l：4x＋y－20＝0代入，得 　　由△＞0，有P＞0或p＜－160， 　　设 　　同理， 　　△ABC的重心 　　 　　 　　∵点A在抛物线S上， 　　∴抛物线S的方程为＝16x． 　　(2)设过定点M的动直线方程为y＝kx＋b，交抛物线于P、Q两点，显然k≠0，b≠0， 　　 　　 　　把①代入抛物线方程，得 　　 　　 　　 　　∵k≠0，b≠0，∴b＝－16k， 　　∴动直线方程为y＝kx－16k， 　　从而y＝k(x－16)， 　　∴动直线必过定点(16，0)， 　　若PQ的斜率不存在，直线x＝16与抛物线交于P(16，－16)、Q(16，16)两点，仍有∠POQ＝． 　　∴存在定点M(16，0)满足条件．