Question

设Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)，f(n)=S2n+1-Sn+1.
（1）证明：f（n+1）＞f（n），
（2）求实数m的取值范围，使n＞1且n∈N*，f(n)＞[logm(m-1)]2-

11

20

[log(m-1)m]2恒成立．

Answer 1

分析：（1）由题意可知f(n+1)-f(n)=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+2

=(

1

2n+2

-

1

2n+4

)+(

1

2n+2

-

1

2n+4

)  ＞0，由此可以得到f（n+1）＞f（n）．
（2）由f（x）是关于n的增函数，可知f(x)min=f(2)=

1

2+2

+

1

2+3

=

9

20

．要使n＞1且n∈N*，f(n)＞[logm(m-1)]2-

11

20

[log(m-1)m]2恒成立．只要

9

20

＞[logm(m-1)]2-

11

20

[log(m-1)m]2成立即可．由此入手能够推导出实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)，f(n)=S2n+1-Sn+1.
∴f(n)=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+1

，
∵f(n+1)-f(n)=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+2

=(

1

2n+2

-

1

2n+4

)+(

1

2n+2

-

1

2n+4

)  ＞0，
∴f（n+1）＞f（n）．
（2）∵f（n+1）＞f（n），∴f（x）是关于n的增函数，
∴f(x)min=f(2)=

1

2+2

+

1

2+3

=

9

20

．
∴要使n＞1且n∈N*，f(n)＞[logm(m-1)]2-

11

20

[log(m-1)m]2恒成立．
只要

9

20

＞[logm(m-1)]2-

11

20

[log(m-1)m]2成立即可．
由

m＞0，m≠1 m-1＞0，m-1≠1

得m＞1且m≠2．
设[log_m（m-1）]²=t，则t＞0，
∴

9 20 ＞t- 11 20 t＞0

，∴0＜t＜1．
∴0＜[log_m（m-1）]²＜1，
解得m＞

1+ 5

2

，且m≠2．

点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要注意挖掘隐含条件，认真审题，细心解答．