Question

已知函数f(x)=

1

2

+log2

x

1-x

，设Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n-1

n

)，n∈N^*，且n≥2．
（1）求S_n；
（2）已知a1=

2

3

，an=

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

，（n≥2，n∈N^*），数列{a_n}的前n项和为T_n，若T_n＜λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用对数的运算性质可得f（x）+f（1-x）=1，当n≥2时，对S_n及其倒序和相加即可得出S_n．
（2）当n≥2时，利用“裂项求和”即可得到T_n，由T_n＜λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，分离参数，利用二次函数的性质或基本不等式的性质即可得出．

解答：解：（1）∵f（x）+f（1-x）=

1

2

+log2

x

1-x

+

1

2

+log2

1-x

x

=1．
∴f（x）+f（1-x）=1
又∵n≥2时，Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)①
Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

1

n

)②
①+②得2S_n=n-1，∴Sn=

n-1

2

．
（2）n≥2时，an=

1

( n-1 2 +1)( n 2 +1)

=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，
当n=1时也满足．T_n=4(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)=4(

1

2

-

1

n+2

)=2-

4

n+2

(n∈N*)
由T_n＜λ（S_n+1+1）得2-

4

n+2

＜λ(

n

2

+1)，λ＞

2

n+2

(2-

4

n+2

)⇒λ＞

4

n+2

-

8

(n+2)2

（方法一）令t=

2

n+2

则

4

n+2

-

8

(n+2)2

=2t-2t2=-2(t-

1

2

)2+

1

2

又∵n∈N*∴0＜t≤

2

3

∴t=

1

2

时，即n=2时，

4

n+2

-

8

(n+2)2

最大，最大值为

1

2

．
∴λ∈(

1

2

，+∞)．
（方法二）λ＞

4n

(n+2)2

=

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

．
其中

4

n+ 4 n +4

≤

4

2 4 +4

=

1

2

，∴λ∈(

1

2

，+∞)．

点评：本题考查了对数的运算性质、倒序相加求和、“裂项求和”、分离参数法、二次函数的性质或基本不等式的性质等基础知识与基本方法，属于难题．