题目内容

5．已知数列{an}的通项公式为an=n2cosnπ，Sn为它的前n项和，则$\frac{{S}_{2010}}{2011}$=1005．

分析 通过an=n2cosnπ=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}，}&{n为奇数}\\{{n}^{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，并项相加并利用平方差公式计算可知S2010=$\frac{2010×2011}{2}$，进而可得结论．

解答 解：依题意，an=n2cosnπ=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}，}&{n为奇数}\\{{n}^{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，
∴S2010=-12+22-32+42-…-20092+20102
=（-12+22）+（-32+42）+…+（-20092+20102）
=（1+2）+（3+4）+…+（2009+2010）
=$\frac{2010×2011}{2}$，
∴$\frac{{S}_{2010}}{2011}$=$\frac{2010×2011}{2×2011}$=1005，
故答案为：1005．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

练习册系列答案
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（Ⅲ）若-1＜a＜3，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1成立．
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A．（$\frac{e^2}{4}$，+∞）B．（$\frac{{{e^{\;}}}}{2}$，+∞）C．（1，$\frac{e^2}{4}$）D．（1，$\frac{{{e^{\;}}}}{2}$）

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