Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+（a+1）lnx．
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）当a=4时，证明：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立；
（Ⅲ）若-1＜a＜3，证明：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1成立．

Answer 1

分析 （I）根据求导公式和法则求出函数的导数，再求出切线的斜率，由导数的几何意义列出方程求出a的值；
（II）对导函数进行化简，再把条件转化为证明“f′（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立”；
（III）利用分析法找思路，根据斜率公式将结论转化为“函数f（x）曲线上任意两点确定的割线斜率k＞1”，再转化为“在任一点处的切线斜率k＞1”，即转化为x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞1，再把不等式化简后，构造函数转化为恒成立问题，再由条件和二次函数的性质求出函数的最小值，化简后根据a的范围判断符号即可．

解答 解：（I）由题意得，f′（x）=x-a+$\frac{a+1}{x}$，
∵在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，
∴在点（2，f（2））处的切线的斜率是$\frac{3}{2}$，即f′（2）=2-a+$\frac{a+1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
解得a=2；
（II）证明：由（I）知，f′（x）=x-a+$\frac{a+1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax+a+1}{x}$，且x＞0，
a=4，即有f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4x+5}{x}$，
当x＞0时，x²-4x+5＞0恒成立，即有f′（x）＞0成立，
即有f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
则对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立；
（III）证明：“$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1”的几何意义是函数f（x）曲线上任意两点确定的割线斜率k＞1，
即在任一点处的切线斜率k＞1，
即证当-1＜a＜3时，对x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞1，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+a+1}{x}$＞1，且x＞0，
即x²-（a+1）x+a+1＞0在（0，+∞）恒成立，
设h（x）=x²-（a+1）x+a+1＞0，且对称轴x=$\frac{a+1}{2}$，
由-1＜a＜3得，0＜$\frac{a+1}{2}$＜2，
则h（x）_min=h（$\frac{a+1}{2}$）=（$\frac{a+1}{2}$）²-（a+1）•$\frac{a+1}{2}$+a+1=-$\frac{（a+1）（a-3）}{4}$，
由-1＜a＜3得，-$\frac{（a+1）（a-3）}{4}$＞0，
故结论得证．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性关系，以及证明不等式转化为恒成立问题等，考查了转化思想和构造函数方法．