Question

如图,已知⊙A、⊙B都经过点C，BC是⊙A的切线，⊙B交AB于点D，连结CD并延长交⊙A于点E，连结AE.

（1）求证:AE⊥AB；

（2）求证:DE·DC=2AD·DB；

（3）如果DE·DC=8，AE=3,求BC的长.

Answer 1

思路解析：由圆中半径，可转化到两组角相等，抓住各角度之间的联系，易证∠DAE=90°，并证明△ADE∽△CDK.

（1）证明：

∵BC是⊙A的切线，

∴BC⊥AC，即∠ACB=90°.

∵BD=BC，AC=AE，

∴∠BDC=∠BCD，∠ACE=∠E.

∵∠BDC=∠ADE，

∴∠ADE=∠BCD.

∵∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠ADE+∠E=90°.

∴∠DAE=90°，即AE⊥AB.

（2）证明：延长DB交⊙B于K点，连结CK，

∵DK是⊙B的直径，

∴∠DCK=90°.

∴∠EAD=∠KCD=90°.

∵∠ADE=∠CDK，

∴△ADE∽△CDK.∴.

∴DE·DC=AD·DK.

∵DK=2BD，

∴DE·DC=2AD·BD.

（3）解：∵DE·DC=2AD·BD,DE·DC=8，∴2AD·DB=8.

∵AC²=AD·AK，

∴9=AD(AD+DK).

∴9=AD²+8.

∴AD=1.

∵2AD·DB=8，

∴BD=4.

∴BC=BD=4.