Question

如图，在平行四边形中，，，将沿折起到的位置.
（1）求证：平面；
（2）当取何值时，三棱锥的体积取最大值？并求此时三棱锥的侧面积.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）时，三棱锥体积取最大值，此时侧面积.

试题分析：本题主要考查余弦定理、勾股定理、线面垂直、三角形面积公式、三棱锥的侧面积和体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，在中，利用余弦定理得到BD的长，从而判断出，利用平行线，得，，利用线面垂直的判定得平面；
第二问，结合第一问的证明知，当时，三棱锥的体积最大，此时平面，所以和为直角三角形，由线面垂直的判定可证出平面，所以，所以为直角三角形，所以三棱锥的侧面积为3个直角三角形之和.
试题解析：（I）在中，

∵ ∴，
又，、平面
∴平面
（2）设E点到平面ABCD距离为，则.
由（I）知
当时，
∵，、平面
∴平面
∴当时，，三棱锥的体积取最大值.
此时平面，∴、
在中，

在Rt△ADE中，
∵，，，、平面
∴平面 ∴

综上，时，三棱锥体积取最大值，此时侧面积.