Question

已知f（x）=log_ax（0＜a＜1），{a_n}，若数列{a_n}使得2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）成等差数列．
（1）求{a_n}的通项a_n；
（2）设b_n=a_n•f（a_n），若{b_n}的前n项和是S_n，且

2a4

1-a2

＜1，求证：Sn+

2na2n+4

1-a2

＜3．

Answer 1

分析：（1）、根据题中已知条件先求出等差数列的公差d=2，将d=2 代入f（a_n）中即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）、根据（1）中求得的数列{a_n}的通项公式先求出b_n的通项公式，进而求出S_n的表达式，结合不等式的性质即可证明S_n+

2na2n+4

1-a2

＜3．

解答：解：设2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4的公差为d，
则2n+4=2+（n+2-1）d，
∴d=2，（2分）
∴f（a_n）=2+（n+1-1）d=2+nd=2n+2，∴log_aa_n=2n+2，
∴a_n=a²ⁿ⁺²．（4分）

（2）∵b_n=a_n•f（a_n）=a²ⁿ⁺²•log_aa²ⁿ⁺²=（2n+2）a²ⁿ⁺²，
∴S_n=4a⁴+6a⁶+…+2n•a²ⁿ+（2n+2）a²ⁿ⁺²
∴a²S_n=4a⁶+6a⁸+…+（2n-2）•a²ⁿ+2n•a²ⁿ⁺²+（2n+2）a²ⁿ⁺⁴
（1-a²）S_n=4a⁴+2[a⁶+…+a²ⁿ⁺²]-（2n+2）a²ⁿ⁺⁴，
∵a≠1，
∴Sn=

2a4(1-a2n)

(1-a2)2

+

2a4-(2n+2)a2n+4

1-a2

=

2a4

1-a2

[

1-a2n

1-a2

+1-(n+1)a2n]，（8分）
∵

2a4

1-a2

＜1，又0＜a＜1⇒2a4+a2-1=(2a2-1)(a2+1)＜0，
故2a2-1＜0，解得，0＜a＜

2

2

(10分)
∵

2a4

1-a2

＜1，又a2n＞0，
∴Sn+

2na2n+4

1-a2

=

2a4

1-a2

(

1-a2n

1-a2

+1-a2n)(11分)
＜

1-a2n

1+a2

+1-a2n(12分)
＜

1

1-a2

+1(13分)

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的基本性质以及数列与不等式的综合，考查了学生的计算能力和对数列与不等式的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．