Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．
（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补全函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）（x∈R）的递增区间；
（2）写出函数f（x）（x∈R）的值域；
（3）写出函数f（x）（x∈R）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，作出函数在R上的图象，结合图象可得函数的增区．
（2）结合函数的图象可得函数的值域．
（3）依据条件求得当x＞0时，f（x）的解析式，再依据函数的奇偶性得到f（x）在R上的解析式．

解答：解：（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，作出函数在R上的图象，
结合图象可得函数的增区间为（-1，0）、减区间为（1，+∞）．
（2）结合函数的图象可得，当x=1，或 x=-1时，函数取得最小值为-1，
函数没有最大值，故函数的值域为[-1，+∞）．
（3）当x＞0时，-x＜0，再根据x≤0时，f（x）=x²+2x，
可得f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x．
再根据函数f（x）为偶函数，可得f（x）=x²-2x．
综上可得，f（x）=

x2+2x ，x≤0 x2-2x ，x＞0

．

点评：本题主要考查函数的图象的作法，函数的单调性和值域，求函数的解析式，属于中档题．