Question

将抛物线C：x²=12y上每一点的横坐标变为原来的

1

2

，纵坐标变为原来的3倍，得到曲线M
（1）求曲线M的方程
（2）若曲线C和过A（1，0）的直线l恰有一个公共点，求直线l的方程．

Answer 1

（1）设曲线M上任意一点P（x，y），则 P′(2x，

y

3

)在C上，
∴(2x)2=-12×

y

3

即 x²=-y为曲线M的方程，
（2）若过A（1，0）的直线l平行于抛物线的对称轴时，曲线C和过A（1，0）的直线l恰有一个公共点，
此时直线l的方程为：x=1；
若过A（1，0）的直线l的斜率存在时，设l：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2=-y

得：x²+kx-k=0，
若曲线C和过A（1，0）的直线l恰有一个公共点，
则△=k²+4k=0，?k=0或k=-4，
∴直线l的方程：y=0或y=-4x+4．
综上所述，故曲线C和过A（1，0）的直线l恰有一个公共点时，直线l的方程为：x=0或y=0或y=-4x+4．