Question

将抛物线C：x²=-4y上每一点的横坐标变为原来的

1

2

，纵坐标变为原来的3倍，得到曲线M．
（1）求曲线M的方程；
（2）直线l过点（3，0），若曲线C上存在两点关于直线l对称，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线C：x²=-4y上每一点的横坐标变为原来的

1

2

，纵坐标变为原来的3倍，得到动点坐标之间的关系，从而可求曲线M的方程；
（2）设点，利用点差法，根据P在抛物线含焦点的弓形内部，可得不等式，从而得解．

解答：解：（1）设曲线M上任意一点P（x，y），则P′(2x，

y

3

)在C上，
∴(2x)2=-4×

y

3

即x2=-

y

3

为曲线M的方程---------------------------------------------------------------（2分）
（2）设l：y=k（x-3）显然k存在，且k≠0
抛物线C上关于l对称的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点P（x₀，y₀）

x 2 1 =-4y1 x 2 2 =-4y2

两式相减得-

1

k

=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

-4

=-

x0

2

------------------------2
∴

x0= 2 k y0=k(x0-3)=2-3k

------------------------------------------------------------------2
因为P在抛物线含焦点的弓形内部∴y0＜-

x 2 0

4

----------------------------------------------------------3
∴3k³-2k²-1＞0⇒（k-1）（3k²+k+1）＞0∴k＞1--------------------------------------------------1

点评：本题的考点是圆锥曲线的轨迹问题，主要考查求曲线的方程，考查点差法，关键是寻找动点之间坐标关系，利用弦中点条件化简．