题目内容

将抛物线C：x²=12y上每一点的横坐标变为原来的 $数学公式$ ，纵坐标变为原来的3倍，得到曲线M
（1）求曲线M的方程
（2）若曲线C和过A（1，0）的直线l恰有一个公共点，求直线l的方程．

解：（1）设曲线M上任意一点P（x，y），则 $\text{[math]}$ 在C上，
∴ $\text{[math]}$
即 x²=-y为曲线M的方程，
（2）若过A（1，0）的直线l平行于抛物线的对称轴时，曲线C和过A（1，0）的直线l恰有一个公共点，
此时直线l的方程为：x=1；
若过A（1，0）的直线l的斜率存在时，设l：y=k（x-1），
由 $\text{[math]}$ 得：x²+kx-k=0，
若曲线C和过A（1，0）的直线l恰有一个公共点，
则△=k²+4k=0，?k=0或k=-4，
∴直线l的方程：y=0或y=-4x+4．
综上所述，故曲线C和过A（1，0）的直线l恰有一个公共点时，直线l的方程为：x=0或y=0或y=-4x+4．
分析：（1）利用抛物线C：x²=12y上每一点的横坐标变为原来的 $\text{[math]}$ ，纵坐标变为原来的3倍，得到动点坐标之间的关系，从而可求曲线M的方程；
（2）设若过A（1，0）的直线l平行于抛物线的对称轴时，曲线C和过A（1，0）的直线l恰有一个公共点，若过A（1，0）的直线l的斜率存在时，设l：y=k（x-1），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根的判别式为0即可求得k值，从而解决问题．
点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的关系，主要考查求曲线的方程，抛物线的简单性质，关键是寻找动点坐标之间坐标关系．