Question

（2012•九江一模）已知函数f（x）=e^kx•sinx，x∈（-

π

4

，

π

4

）．
（1）当k=-

3

时，求函数f（x）的极大值；
（2）若函数f（x）有极大值，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当k=-

3

时，f′（x）=e-

3

xcosx（1-

3

tanx），利用导数的正负取得函数的单调性，即可确定函数的极大值；
（2）求导函数，再分类讨论：①当|k|≤1时，|ktanx|＜1，可得当x∈（-

π

4

，

π

4

）时，f′（x）＞0恒成立，函数没有极值；②当k＞1时，-k＜ktanx＜k，-1∈（-k，k），函数没有极大值；③k＜-1时，k＜ktanx＜-k，-1∈（k，-k），函数取得极大值，由此可得结论．

解答：解：求导函数，可得f′（x）=e^kxcosx（1+ktanx）
（1）当k=-

3

时，f′（x）=e-

3

xcosx（1-

3

tanx）
∵x∈（-

π

4

，

π

4

），∴e-

3

xcosx＞0
令f′（x）=0，得tanx=

3

3

，所以x=

π

6

当x∈（-

π

4

，

π

6

）时，f′（x）＞0；当x∈（

π

6

，

π

4

）时，f′（x）＜0；
∴x=

π

6

时，函数f（x）取得极大值为f(

π

6

)=

1

2

e-

3 π

6

；
（2）f′（x）=e^kxcosx（1+ktanx）
∵x∈（-

π

4

，

π

4

），∴e^kxcosx＞0，-1＜tanx＜1
①当|k|≤1时，|ktanx|＜1，∴当x∈（-

π

4

，

π

4

）时，f′（x）＞0恒成立，函数没有极值；
②当k＞1时，-k＜ktanx＜k，-1∈（-k，k）
∴ktanx=-1，x∈（-

π

4

，

π

4

）有解
设为α，因为ktanx单调递增，所以当x∈（-

π

4

，α）时，f′（x）＜0；当x∈（α，

π

4

）时，f′（x）＞0，
∴函数没有极大值
③k＜-1时，k＜ktanx＜-k，-1∈（k，-k）
∴ktanx=-1，x∈（-

π

4

，

π

4

）有解
设为β，因为ktanx单调递减，所以当x∈（-

π

4

，β）时，f′（x）＞0；当x∈（β，

π

4

）时，f′（x）＜0，
∴函数在β处取得极大值
综上所述，函数f（x）有极大值，实数k的取值范围是（-∞，-1）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，综合性强．