Question

已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圆C：(x－1)²＋(y－2)²＝25，则m∈R值时，l与C是否必相交？若相交，求出相交的弦长的最小值及此时m的值；若不一定相交，则举一反例．

Answer 1

答案：
解析：

解：将直线方程变形为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0， 　　则由 　　故直线l过定点(3，1)．而＜5，则点(3，1)在圆的内部，所以直线l与圆C恒相交．又圆心(1，2)和定点(3，1)的连线l1的斜率k＝－，所以当l1与l垂直时，其弦长最短，此时直线l的斜率为＝2，得m＝，故当m＝时，弦长最短，最短弦长＝．

提示：

考查直线过定点的问题和直线与圆的位置关系．当直线的系数中含有参数时，直线必过定点．而当直线过圆内一定点时，直线一定与圆相交．在过圆内一定点的所有弦中，与定点和圆心连线垂直的弦的弦长最短；过定点和圆心的弦最长．