Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，它与直线x+y+1=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ，求椭圆方程．（O为原点）．

Answer 1

【答案】分析：先设出椭圆的标准方程，根据离心率的范围求得a和c的关系，进而表示出b和a的关系，代入椭圆方程，根据OP⊥OQ判断出x₁x₂=-y₁y₂，直线与椭圆方程联立消去y，进而根据表示出x₁x₂和y₁y₂，根据x₁x₂=-y₁y₂求得b的值．进而椭圆的方程可得．
解答：解：设椭圆方程为，
由得
∴椭圆方程为，即x²+4y²=4b²设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则由OP⊥OQ⇒x₁x₂=-y₁y₂由△＞0⇒b²＞，x₁x₂=
y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=
∴
b²=
∴椭圆方程为
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．直线与圆锥曲线的关系，以及平面向量的几何由意义．考查了基本知识的识记和基本的运算能力．