Question

如图，已知椭圆中心在原点，F是焦点，A为顶点，准线l交x轴于点B，点P，Q在椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥AO，则椭圆的离心率是①

|PF|

|PD|

；②

|QF|

|BF|

；③

|AO|

|BO|

；④

|AF|

|AB|

；⑤

|FO|

|AO|

，其中正确的是

①②③④⑤

．

Answer 1

分析：根据题意，设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），进而根据这个方程分别给出5个式子关于a、b、c的表示式，将化简计算出的结果与离心率e的表达式比较，可得答案．

解答：解：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），依次分析5个比值的式子可得：
①根据椭圆的第二定义，可得

|PF|

|PD|

=e，符合题意；
②根据椭圆的性质，可得|BF|=

a2

c

-c=

b2

c

，且|QF|=

b2

a

，则

|QF|

|BF|

=

b2 a

b2 c

=

c

a

=e，符合题意；
③由椭圆的性质，可得|AO|=a，|BO|=

a2

c

，则

|AO|

|BO|

=

a

a2 c

=

c

a

=e，符合题意；
④由椭圆的性质，可得

|AF|

|AB|

=

a-c

a2 c -a

=

c

a

=e，符合题意；
⑤由椭圆的性质，可得|AO|=a，|FO|=c，

|FO|

|AO|

=

c

a

=e，符合题意．
故答案为：①②③④⑤

点评：本题给出几个椭圆中的线段的比值，求与离心率e相等的式子．着重考查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质的知识，属于中档题．