Question

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=2

2

．记动点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求

OA

•

OB

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，由此能求出其方程．
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x₀，此时A（x₀，

x 2 0 -2

（2）），B（x₀，-

x 2 0 -2

），

OA

•

OB

=2，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，代入双曲线方程

x2

2

-

y2

2

=1中，得（1-k²）x²-2kbx-b²-2=0．依题意可知方程有两个不相等的正数根，由此入手能求出

OA

•

OB

的最小值．

解答：解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
所求方程为：

x2

2

-

y2

2

=1（x＞0）
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x₀，
此时A（x₀，

x 2 0 -2

），
B（x₀，-

x 2 0 -2

），

OA

•

OB

=2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，
代入双曲线方程

x2

2

-

y2

2

=1中，得：
（1-k²）x²-2kbx-b²-2=01°
依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

△=4k2b2-4(1-k2)•(-b2-2)＞0 x1+x2= 2kb 1-k2 ＞0 x1x2= b2+2 k2-1 ＞0

，
解得|k|＞1又

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=

2k2+2

k2-1

=2+

4

k2-1

＞2
综上可知

OA

•

OB

的最小值为2．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．