Question

7．求下列函数的值域：
（1）y=3-2x-x²，x∈[$-\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$]；
（2）y=|x+1|+|2x-2|；
（3）y=x+$\sqrt{1-x}$；
（4）y=$\frac{2x-2}{x+1}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用配方法求二次函数的值域；
（2）去绝对值得到分段函数，分段求出值域后取并集得答案；
（3）利用换元法化为二次函数求值域；
（4）把已知函数解析式变形，得到y=$\frac{2x-2}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-4}{x+1}=-\frac{4}{x+1}+2$，由分式不为0可得函数的值域．

解答 解：（1）y=3-2x-x²=-（x+1）²+4，
∵x∈[$-\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$]，∴当x=$\frac{3}{2}$时，${y}_{min}=-\frac{9}{4}$．当x=-1时，y_max=4．
∴y=3-2x-x²，x∈[$-\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$]的值域为[-$\frac{9}{4}，4$]；
（2）y=|x+1|+|2x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+1，x＜-1}\\{-x+3，-1≤x≤1}\\{3x-1，x＞1}\end{array}\right.$，
当x＜-1时，y＞4．当-1≤x≤1时，2≤y≤4．当x＞1时，y＞2．
∴y=|x+1|+|2x-2|的值域为[2，+∞）；
（3）令$\sqrt{1-x}=t（t≥0）$，则1-x=t²，x=1-t²，
∴y=x+$\sqrt{1-x}$=g（t）=$-{t}^{2}+t+1=-（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}$，
当t=$\frac{1}{2}$时，函数有最大值为$\frac{5}{4}$．
∴y=x+$\sqrt{1-x}$的值域为（-∞，$\frac{5}{4}$]；
（4）y=$\frac{2x-2}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-4}{x+1}=-\frac{4}{x+1}+2$，
∵$-\frac{4}{x+1}≠0$，∴$-\frac{4}{x+1}+2≠2$，
函数y=$\frac{2x-2}{x+1}$的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）．

点评 本题考查函数的值域及其求法，考查了配方法、换元法等求函数值域的方法，是中档题．