题目内容
已知
，（Ⅰ）求b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）设cn=bnbn+1，Sn为数列{cn}的前n项和，求证：Sn≥17n；
（Ⅲ）求证：
．
【答案】分析：（Ⅰ）根据a2和a1及题设中递推式求得a3，进而求得a4，代入
求得b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）整理an+2=4an+1+an得
，进而求得关于bn的递推式，进而推断出bn＞4，且cn=bnbn+1=4bn+1＞17进而推断出Sn=c1+c2++cn≥17n．
（Ⅲ）先看当n=1时把b1和b2代入结论成立；在看当n≥2时，把（2）中求得的递推式代入|b2n-bn|，进而根据（2）中Sn≥17n的结论推断出|b2n-bn|＜
，进而根据|b2n-bn|≤|bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|+…+|b2n-b2n-1|使原式得证．
解答：解：（Ⅰ）∵a2=4，a3=17，a4=72，
所以
（Ⅱ）由an+2=4an+1+an
得
即
所以当n≥2时，bn＞4
于是c1=b1，b2=17，cn=bnbn+1=4bn+1＞17（n≥2）
所以Sn=c1+c2++cn≥17n
（Ⅲ）当n=1时，结论
成立
当n≥2时，有
所以|b2n-bn|≤|bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|+…+|b2n-b2n-1|
点评：本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式与不等式，函数等知识综合考查是近几年高考的热点，平时的训练应注意知识的综合运用．
求得b1，b2，b3的值；（Ⅱ）整理an+2=4an+1+an得
，进而求得关于bn的递推式，进而推断出bn＞4，且cn=bnbn+1=4bn+1＞17进而推断出Sn=c1+c2++cn≥17n．（Ⅲ）先看当n=1时把b1和b2代入结论成立；在看当n≥2时，把（2）中求得的递推式代入|b2n-bn|，进而根据（2）中Sn≥17n的结论推断出|b2n-bn|＜
，进而根据|b2n-bn|≤|bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|+…+|b2n-b2n-1|使原式得证．解答：解：（Ⅰ）∵a2=4，a3=17，a4=72，
所以
（Ⅱ）由an+2=4an+1+an
得
即
所以当n≥2时，bn＞4
于是c1=b1，b2=17，cn=bnbn+1=4bn+1＞17（n≥2）
所以Sn=c1+c2++cn≥17n
（Ⅲ）当n=1时，结论
成立当n≥2时，有
所以|b2n-bn|≤|bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|+…+|b2n-b2n-1|
点评：本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式与不等式，函数等知识综合考查是近几年高考的热点，平时的训练应注意知识的综合运用．
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