Question

已知数列{a_n}的前n项和a_n+1=2a_n+2，且a₁=2，数列{2bn-1}为等比数列，且b₁=2，b₄=4
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式
（2）已知c_n=a_n+2，求{c_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n+2，知

an+1+2

an+2

=2，再由a₁=2，得到a_n=2ⁿ⁺¹-2．数列{2bn-1}为等比数列，{b_n}是等差数列，由b₁=2，b₄=4，能求出{b_n}的通项公式．
（2）c_n=a_n+2=2ⁿ⁺¹，c_n•b_n=2n+1•(

2

3

n+

4

3

)=2n(

4

3

n+

8

3

)，所以Sn=2(

4

3

+

8

3

)+22(

4

3

×2+

8

3

)+…+2n-1[

4

3

 ×(n-1)+

8

3

]+2n(

4

3

n+

8

3

)，再由错位相减法能求出{c_n•b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵a_n+1=2a_n+2，
∴a_n+1+2=2（a_n+2），
∴

an+1+2

an+2

=2，
∵a₁=2，
∴a₁+2=4，
∴{a_n+2}是以4为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n+2=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
∵数列{2bn-1}为等比数列，
∴{b_n}是等差数列，
∵b₁=2，b₄=4，
∴2+3d=4，
d=

2

3

，
∴bn=2+(n-1)×

2

3

=

2

3

n+

4

3

．
（2）∵a_n=2ⁿ⁺¹-2．
∴c_n=a_n+2=2ⁿ⁺¹，
∴c_n•b_n=2n+1•(

2

3

n+

4

3

)=2n(

4

3

n+

8

3

)，
∴Sn=2(

4

3

+

8

3

)+22(

4

3

×2+

8

3

)+…+2n-1[

4

3

 ×(n-1)+

8

3

]+2n(

4

3

n+

8

3

)，①
∴2Sn=22(

4

3

+

8

3

)+23(

4

3

×2+

8

3

)+…+2n[

4

3

(n-1)+

8

3

]+2n+1(

4

3

n+

8

3

)，②
①-②，得-Sn=8+

4

3

×22+…+

4

3

×2n-1+

4

3

×2n-2n+1(

4

3

n+

8

3

)
=8+

4

3

(22+23+…+2n-1+2n)-2n+1(

4

3

n+

8

3

)
=8+

4

3

×

4(1-2n-1)

1-2

-2n+1(

4

3

n+

8

3

)
=8+2ⁿ⁺¹-4-2n+1(

4

3

n+

8

3

)
=4-2n+1(

4

3

n+

5

3

)，
∴Sn=2n+1(

4

3

n+

5

3

)-4．

点评：本题考查数列的通项公式的求法和{c_n•b_n}的前n项和S_n．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的灵活运用．