Question

已知双曲线

x2

24tanα

-

y2

16cotα

=1（α为锐角）和圆（x-m）²+y²=r²相切于点A（4

3

，4），求α，m，r的值．

Answer 1

分析：把点A（4

3

，4）代入双曲线

x2

24tanα

-

y2

16cotα

=1（α为锐角），求出α的值，联立双曲线和圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，△=0，和把点A（4

3

，4）代入圆（x-m）²+y²=r²，解方程组即可求得m，r的值．

解答：解：∵点A（4

3

，4）在双曲线上，
∴

(4 3 )2

24tanα

-

42

16cotα

=1，

2

tanα

-tanα=1
tan²α+tanα-2=0
即（tanα-1）（tanα+2）=0   解得tanα=1，tanα=-2（α不是锐角，舍去）
α=45°，
故双曲线方程为

x2

24

-

y2

16

=1（1）
又圆的方程为（x-m）²+y²=r²（2）
从（1）得y²=

2

3

x2-16，
代入（2）得（x-m）²+

2

3

x2-16=r2=(4

3

-m)2+42，
即5x²-6mx+24

3

m-240=0．
因为交点A是切点，故方程有等根，即其判别式为
△=3m²-40

3

m+400=0，
m=

20 3

3

．
由此可得，圆的圆心为（

20 3

3

，0），
半径r=

(4 3 - 20 3 3 )2+42

=

4

3

21

．

点评：此题是个中档题．本题考查了代入法求圆与双曲线的标准方程、以及双曲线与圆相切问题，转化为一元二次方程有相等实根问题，体现了转化的思想．