Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P为A₁C₁的中点，AB=BC=kPA．
（Ⅰ）当k=1时，求证PA⊥B₁C；
（Ⅱ）当k为何值时，直线PA与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值为

1

4

，并求此时二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以点B为坐标原点，分别以直线BA、BC、BB₁为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz，设AB=2，欲证PA⊥B₁C，只需它们对应的坐标，计算它们的数量积，使数量积为零即可；
（II）先求出平面B₁C的一个法向量，先求直线PA与法向量的夹角的余弦值然后得到直线与平面所成角的正弦值，可求出k的值，最后求出平面BPC的一个法向量，根据两法向量的夹角的余弦值求出二面角A-PC-B的余弦值．

解答：解：以点B为坐标原点，分别以直线BA、BC、BB₁为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz．
（I）设AB=2，则AB=BC=PA=2
根据题意得：A(2，0，0)，c(0，2，0)，B1(0，0，

2

)，P(1，1，

2

)
所以

.

AP

=(-1.1，

2

)，

.

B1C

=(0，2，-

2

)．
∵

AP

•

B1C

=0+2-2=0，∴PA⊥B₁C．
（II）设AB=2，则AP=

2

k

，
根据题意：A（2，0，0），C（0，2，0），
又因为A1P=

1

2

A1C1=

2

，
所以AA1=

AP2-A1P2

=

4 k2 -2

，
∴B1(0，0，

4 k2 -2

)，
∴P(1，1，

4 k2 -2

)

AP

=(-1，1，

4 k2 -2

)，
∵AB⊥平面B₁C，
所以由题意得|cos＜

AP

，

AB

＞|=

1

4

，
即|

AP • AB

| AP |•| AB |

|=

1

4

，即

2

1+1+ 4 k2 -2 •2

=

1

4

，
∵k＞0，解得k=

1

2

．
即k=

1

2

时，直线PA与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值为

1

4

．（8分）
∵B₁P⊥面APC，∴平面APC的法向量

B1P

=(1，0，0)．
设平面BPC的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

BC

=(0，2，0)，

BP

(1，1，

14

)
由

BC • n = 0 BP •n=0

，得

2y=0 x+y+ 14 z=0

，
∴cos＜

n

，

B1P

＞=|

n • B1P

| n || B1P |

=|

14

15 × 2

|=

105

15

所以此时二面角A-PC-B的余弦值是

105

15

．（12分）

点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及利用向量法度量二面角的大小，属于基础题．