Question

已知α为锐角，且tanα=

2

-1，函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+

π

4

)，数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求证：数列{a_n+1}为等比数列；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由tan2α=

2tanα

1-tan2α

，将tanα=

2

-1代入可求解，由α为锐角，得α=

π

8

，从而计算得sin(2α+

π

4

)=1进而求得函数表达式．
（2）由a_n+1=2a_n+1，变形得a_n+1+1=2（a_n+1），由等比数列的定义可知数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（3）由（2）得a_n=2ⁿ-1，转化为一个等比数列与一个等差数列的和的形式，可计算得Sn=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-n-2．

解答：解：（1）∵tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1
又∵α为锐角
∴α=

π

8

∴sin(2α+

π

4

)=1
∴f（x）=2x+1
（2）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1
∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（3）由上步可得a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1
∴Sn=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-n-2

点评：本题主要考查数列与三角函数的综合运用，主要涉及了倍角公式，求函数解析式，证明数列以及前n项和．