题目内容
8．
已知椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，圆C2：x2+y2=4．过椭圆C1上点P作圆C2的两条切线，切点为A，B．（1）当点P的坐标为（-2，2）时，求直线AB的方程；
（2）当点P（x0，y0）在椭圆上运动但不与椭圆的顶点重合时，设直线AB与坐标轴围成的三角形面积为S，问S是否存在最小值？如果存在，请求出这个最小值．并求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
分析 （1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则PA、PB的方程分别为x1x+y1y=4，x2x+y2y=4，而PA、PB交于P（-2，2），由此能求出AB的直线方程；
（2）求得直线AB的方程x0x+y0y=4，求得与x，y轴的交点，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值及P的坐标．
解答 解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由OA⊥PA，可得切线PA：y-y1=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-x1），
x12+y12=4，
化简可得x1x+y1y=4，
同理PB的方程x2x+y2y=4，
而PA、PB交于P（-2，2），
即-2x1+2y1=4，-2x2+2y2=4，
由两点确定一条直线，可得AB的直线方程为：-2x+2y=4，
即为x-y+4=0；
（2）由（1）可得直线AB的方程为x0x+y0y=4，
令x=0，可得y=$\frac{4}{{y}_{0}}$；令y=0，可得x=$\frac{4}{{x}_{0}}$，
则三角形面积S=$\frac{1}{2}$|$\frac{4}{{y}_{0}}$|•|$\frac{4}{{x}_{0}}$|=|$\frac{8}{{x}_{0}{y}_{0}}$|，
又$\frac{1}{3\sqrt{2}}$|x0y0|=2|$\frac{{x}_{0}}{2\sqrt{3}}$•$\frac{{y}_{0}}{\sqrt{6}}$|≤$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{12}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{6}$=1，
即有|x0y0|≤3$\sqrt{2}$，
则S≥$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
当且仅当|y0|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|x0|时，又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{12}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{6}$=1，
即有P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$），或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$），或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
三角形的面积S取得最小值为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
点评 本题考查直线和圆的位置关系，主要是切线方程的求法，考查三角形的面积的最值，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．
| A． | $\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1（x≠0） | B． | $\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1（x≠0） | ||
| C． | $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1（x≠0） | D． | $\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（x≠0） |
| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{π}{8}$ | C． | $\frac{π}{4}$ | D． | $\frac{π}{6}$ |