Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，1+2cos（B+C）=0，则BC边上的高为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 1+2cos（B+C）=0，可得cosA=$\frac{1}{2}$，A．利用正弦定理可得：sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$及其B，C．BC边上的高h=$\sqrt{2}$sinC．

解答 解：∵1+2cos（B+C）=0，
∴1-2cosA=0，即cosA=$\frac{1}{2}$．
∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$．
由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{sinB}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
b＜a，
∴B为锐角，
∴B=$\frac{π}{4}$，
∴C=π-A-B=$\frac{5π}{12}$．
∴BC边上的高h=$\sqrt{2}$$sin\frac{5π}{12}$=$\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、直角三角形边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．