Question

已知函数f（x）=x²-2ax+5，若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，3]
B．[1，2]
C．[-1，3]
D．[2，+∞）

Answer 1

【答案】分析：先由函数的解析式求出其对称轴及单调区间；然后根据f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，得出a的一个取值范围；
再对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，|f（x₁）-f（x₂）|_max=|f（a）-f（1）|≤4，又可求出a的一个取值范围；最后两者取交集，则问题解决．
解答：解：函数f（x）=x²-2ax+5的对称轴是x=a，则其单调减区间为（-∞，a]，
因为f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，所以2≤a，即a≥2．
则|a-1|≥|（a+1）-a|=1，
因此任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，只需|f（a）-f（1）|≤4即可，
即|（a²-2a²+5）-（1-2a+5）|=|a²-2a+1|=（a-1）²≤4，亦即-2≤a-1≤2，
解得-1≤a≤3，又a≥2，
因此a∈[2，3]．
故选A．
点评：本题主要考查二次函数的单调性，及跨对称轴的区间上的值域问题．