Question

已知函数，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）如图，函数f（x）在[-1，1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P，求与的夹角的余弦．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦函数化简函数的表达式，然后求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）解法一：通过函数为0，求出M，N的坐标，确定P的位置，求出与，求出与的夹角的余弦．
      解法二：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，求出|PM|，|PN|在三角形中利用余弦定理求出与的夹角的余弦．
      解法三：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，在Rt△PAM中，求出，通过二倍角公式求出与的夹角的余弦．
解答：解：（Ⅰ）∵
=（2分）
∵x∈R∴，
∴函数f（x）的最大值和最小值分别为1，-1．（4分）
（Ⅱ）解法1：令得，
∵x∈[-1，1]∴或∴，（6分）
由，且x∈[-1，1]得∴，（8分）
∴，（10分）
∴=．（12分）
解法2：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，
由三角函数的性质知，（6分），（8分）
由余弦定理得（10分）
=．（12分）
解法3：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，
由三角函数的性质知，（6分）（8分）
在Rt△PAM中，（10分）
∵PA平分∠MPN∴cos∠MPN=cos2∠MPA=2cos²∠MPA-1=．（12分）
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，向量的夹角的求法，可以通过向量的数量积解决，也可以通过三角形解决，考查计算能力，常考题型．