题目内容

已知F₁（-1，0），F₂（1，0），点p满足 $数学公式$ ，记点P的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F₂（1，0）作直线l与轨迹E交于不同的两点A、B，设 $数学公式$ ，T（2，0），，若λ∈[-2，-1]，求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ 知，点P的轨迹为以F₁，F₂为焦点，长轴长为 $\text{[math]}$ 的椭圆
所以 $\text{[math]}$
轨迹方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）根据题设条件可设直线l的方程为x=ky+1， $\text{[math]}$ 中，得（k²+2）y²+2ky-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由根与系数的关系得 $\text{[math]}$ ① $\text{[math]}$ ．②
∵ $\text{[math]}$ ，∴有 $\text{[math]}$ ．
将①式平方除以②式，得 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ．∵ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
而 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ 知，点P的轨迹为以F₁，F₂为焦点，长轴长为 $\text{[math]}$ 的椭圆，由此能求出其轨迹方程．
（Ⅱ）根据题设条件可设直线l的方程为x=ky+1， $\text{[math]}$ 中，得（k²+2）y²+2ky-1=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ ，知有 $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．由此能求出 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查轨迹方程的求法，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．