Question

【题目】已知椭圆的左、右两个焦点分别为，P是椭圆上位于第一象限内的点，轴，垂足为Q，，，的面积为.

（1）求椭圆F的方程：

（2）若M是椭圆上的动点，求的最大值，并求出取得最大值时M的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值为，此时点M的坐标为.

【解析】

(1)在中,根据,求出,再根据余弦定理求出,然后由定义求出,然后由求出,从而可得椭圆的方程.

(2)根据面积求出的坐标,再根据二次函数求出的最大值.

（1）在中，由,得，所以,

因为,所以,

所以,所以,

在中，由余弦定理得：,

所以,

所以即，,

,

,

椭圆F的方程为.

（2）设，根据题意可知,所以,代入椭圆方程得,

的坐标为,

令代入椭圆方程,,其中,

当时，的最大值为,

的最大值为，此时点M的坐标为.