Question

已知椭圆C：＋＝1的离心率为，左焦点为F(－1，0)，

(1)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线L与椭圆C交于M，N两点，若，求直线L的方程；

(2)椭圆C上是否存在三点P，E，G，使得S△OPE＝S△OPG＝S△OEG＝？

 

Answer 1

(1) 和； (2) 椭圆上不存在满足条件的三点

【解析】

试题分析：(1) 由已知 可解得 ，即椭圆方程为 。可得 。根据点斜式可得直线即直线方程为，将直线方程和椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程，可得根与系数的关系。再根据可求得的值，即可得所求直线方程。 (2)根据两点确定一条直线可设两点确定的直线为 l，注意讨论直线的斜率存在与否，用弦长公式可得的长，用点到线的距离公式可得点到线的距离，从而可得三角形面积。同理可得另两个三角形面积，联立方程可得三点横纵坐标的平方，根据三点坐标判断能否与点构成三角形，若能说明存在满足要求的三点否则说明不存在。

试题解析：(1)由题意：椭圆的方程为.

设点，由得直线的方程为．

由方程组消去，整理得，

可得，.

因为，

所以

由已知得，解得.

故所求直线的方程为：和

(2) 假设存在满足.

不妨设两点确定的直线为 l，

(ⅰ)当直线l的斜率不存在时， 两点关于轴对称，

所以，

因为在椭圆上，

所以.①

又因为，

所以|，②

由①、②得，

此时，.

(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

由题意知，将其代入得

，

其中，

即，(★)

又，

所以.

因为点到直线l的距离为，

所以.

又，

整理得 ，且符合(★)式．

此时，

.

综上所述，，结论成立．

同理可得：，

解得；.

因此只能从中选取，只能从中选取．

因此只能在这四点中选取三个不同点，

而这三点的两两连线中必有一条过原点，

与矛盾，

所以椭圆上不存在满足条件的三点

考点：1椭圆方程；2向量数量积公式；3直线和圆锥曲线的位置关系问题；4三角形面积问题。