题目内容

设函数f（x）=sin（2x+
π
6
）+cos2x+
3
sinx•cosx．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期．
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=
1
3
，f（
C
2
）=
5
2
，求sinA．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+
π
6
）+
1
2
，由此求出函数f（x）的
最大值以及最小正周期．
（2）根据cosB=
1
3
，f（
C
2
）=
5
2
，求出C=
π
3
，再由sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，运算求得结果．
解答：解：（1）函数f（x）=sin（2x+
π
6
）+cos2x+
3
sinx•cosx=
3
2
sin2x+
1
2
cos2x+
1+cos2x
2
+
3
2
sin2x
=
3
sin2x+cos2x+
1
2
=2sin（2x+
π
6
）+
1
2
，
所以函数f（x）的最大值是
5
2
，最小正周期为π．
（2）f（
C
2
）=2sin（C+
π
6
）+
1
2
=
5
2
，所以，2sin（C+
π
6
）=1，
又C为△ABC的内角，所以C=
π
3
．
又因为在△ABC 中，cosB=
1
3
，所以，sinB=
2
2
3
，
所以，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=
2
2
+
3
6
．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的周期性和求法，求复合三角函数的值域，
属于中档题．
练习册系列答案
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设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）的图象过点（
π8
，-1）．
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设函数f（x）=sin（2π+?）（-π＜?＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=
π8
．
（Ⅰ）求?；
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设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=
π8
．
（1）求φ；
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设函数f （x）=sin(2x+
π
3
)+
3
3
sin2x-
3
3
cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）将函数f（x）的图象向右平移
π
3
个单位长度，得到函数g（x）的图象，求g （x）在区间[-
π
6
，
π
3
]上的值域．
设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-
π
2
＜?＜
π
2
），给出以下四个论断：
①它的图象关于直线x=
π
12
对称；        
②它的周期为π；
③它的图象关于点（
π
3
，0）对称；      
④在区间[-
π
6
，0]上是增函数．
以其中两个论断作为条件，余下两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题：
（1）
①③⇒②④
①③⇒②④
； （2）
①②⇒③④
①②⇒③④
．

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