题目内容

设函数f （x）=sin(2x+
π
3
)+
3
3
sin2x-
3
3
cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）将函数f（x）的图象向右平移
π
3
个单位长度，得到函数g（x）的图象，求g （x）在区间[-
π
6
，
π
3
]上的值域．
分析：（1）利用和差角公式对f（x）可化为：f（x）=
3
3
sin（2x+
π
6
），由周期公式可求最小正周期，令2x+
π
6
=kπ+
π
2
，解出x可得对称轴方程；
（2）根据图象平移规律可得g（x）=-
3
3
cos2x，由x的范围可得2x范围，从而得cos2x的范围，进而得g（x）的值域；
解答：解：f（x）=sin2xcos
π
3
+cos2xsin
π
3
-
3
3
cos2x
=
1
2
sin2x+
3
6
cos2x=
3
3
sin（2x+
π
6
），
（1）所以f（x）的最小正周期为T=π，
由2x+
π
6
=kπ+
π
2
，得x=
kπ
2
+
π
6
，k∈Z，
所以函数f（x）图象的对称轴方程为：x=
kπ
2
+
π
6
，k∈Z；
（2）由题意得，g（x）=f（x-
π
3
）=
3
3
sin（2x-
π
2
）=-
3
3
cos2x，
∵x∈[-
π
6
，
π
3
]，∴2x∈[-
π
3
，
2
3
π]，
从而cos2x∈[-
1
2
，1]，
所以g（x）的值域为[-
3
3
，
3
6
]．
点评：本题考查三角函数的恒等变换、三角函数的周期及其求法、三角函数的图象变换等知识，熟练掌握有关基础知识解决该类题目的关键．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=
ax
+xlnx，g（x）=x3-x2-3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的s，t∈[1，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=exsinx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果对于任意的x∈[0，
π
2
]，f（x）≥kx总成立，求实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+excosx，x∈[-
2011π
2
，
2013π
2
]．过点M（
π-1
2
，0）作函数F（x）图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{xn}，求数列{xn}的所有项之和S的值．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．
设函数f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求证：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）证明：存在函数t=φ（s）=as+b（s＞0），满足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）设x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．问：数列{
1
xn-1
}是否为等差数列？若是，求出数列{xn}中最大项的值；若不是，请说明理由．
（2012•肇庆二模）设函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与直线y=4相切于M（1，4）．
（1）求y=f（x）在区间（0，4]上的最大值与最小值；
（2）是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当s≤x≤t时，函数f（x）=x3+ax2+bx的值域是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t；若不存在，请说明理由．

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