题目内容
设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-
＜?＜
），给出以下四个论断：
①它的图象关于直线x=
对称；
②它的周期为π；
③它的图象关于点（
，0）对称；
④在区间[-
，0]上是增函数．
以其中两个论断作为条件，余下两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题：
（1）
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
①它的图象关于直线x=
| π |
| 12 |
②它的周期为π；
③它的图象关于点（
| π |
| 3 |
④在区间[-
| π |
| 6 |
以其中两个论断作为条件，余下两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题：
（1）
①③⇒②④
①③⇒②④
； （2）①②⇒③④
①②⇒③④
．分析：（1）由①得ω×
+∅=kπ+
； 再由③得ω
+∅=kπ，k∈z，以及ω、∅的范围，求得ω、∅的值，从而得
函数解析式，从而求出周期和单调增区间，可得②④正确，故得①③⇒②④．
（2）由②可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅），再由①得 2×
+∅=kπ+
，k∈z，结合∅的范围可得φ=
，
故函数f（x）=sin（2x+
），由此推出③④成立．
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
函数解析式，从而求出周期和单调增区间，可得②④正确，故得①③⇒②④．
（2）由②可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅），再由①得 2×
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
故函数f（x）=sin（2x+
| π |
| 3 |
解答：解：（1）：①③⇒②④．
由①得ω×
+∅=kπ+
，k∈z． 由③得ω
+∅=kπ，k∈z．
又∵ω＞0，-
＜?＜
，故有ω=2，∅=
．
∴f(x)=sin(2x+
)，其周期为π．
令 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，可得 kπ-
≤x≤kπ+
．
故函数f（x）的增区间为[kπ-
， kπ+
]．
∵[-
，0]⊆[-
，
]，∴f（x）在区间[-
，0]上是增函数，
故可得 ①③⇒②④．
（2）：还可①②⇒③④．
由②它的周期为π，可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅）．
由①得 2×
+∅=kπ+
，k∈z．再由 -
＜?＜
可得φ=
，故函数f（x）=sin（2x+
）．
显然它的图象关于点（
，0）对称，由（1）可得 f（x）在区间[-
，0]上是增函数．
故可得 ①②⇒③④．
故答案为 （1）：①③⇒②④； （2）：①②⇒③④．
由①得ω×
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
又∵ω＞0，-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴f(x)=sin(2x+
| π |
| 3 |
令 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
故函数f（x）的增区间为[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
∵[-
| π |
| 6 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
故可得 ①③⇒②④．
（2）：还可①②⇒③④．
由②它的周期为π，可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅）．
由①得 2×
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
显然它的图象关于点（
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
故可得 ①②⇒③④．
故答案为 （1）：①③⇒②④； （2）：①②⇒③④．
点评：本题主要考查三角函数的周期性，单调性，对称性，以及学生构造命题拓展问题的能力，属中档题．
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