Question

如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC=4，AB=AC，∠BAC=90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB₁所成角的大小为arccos，求：
（1）该几何体的体积；
（2）直线AD与平面ACC₁A₁所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）连A₁D，由题设知A₁、D关于B₁C对称，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用异面直线BD和AB₁所成角的大小为arccos，求得AA₁，利用V=+可求几何体的体积；
（2）=（2，2，4），平面ACC₁A₁的法向量=（0，1，0），利用向量的夹角公式，可求直线AD与平面ACC₁A₁所成角的大小．
解答：解：连A₁D，由题设知A₁、D关于B₁C对称，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AA₁=h，则A（0，0，0），B（0，2，0），B₁（0，2，h），
D（2，2，h），=（2，0，h），=（0，2，h），
∵异面直线BD和AB₁所成角的大小为arccos
∴
∴2h²+16=3h²，∴h=4，
（1）V=+=+=16+8π．
（2）=（2，2，4），平面ACC₁A₁的法向量=（0，1，0），
设直线AD与平面ACC₁A₁所成角为θ，则sinθ=，∴θ=，
故直线AD与平面ACC₁A₁所成角的大小为．
点评：本题考查几何体的体积，考查线线角、线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，综合性强．