题目内容

设函数

（I）求证函数有两个零点；

（II）设x1，x2是函数的两个零点，求| x1－x2|的范围；

（III）求证函数的零点x1，x2至少有一个在区间（0，2）内.

（I）证明：

 

又

故函数有两个零点

（II）若的两个零点，

则的两根                                               

 

故

（III）

由（I）知

 

   （i）当

又

在区间（0，1）内至少有一个零点

（ii）当

在区间（1，2）内有一零点，

综合（i）（ii），可知函数在区间（0，2）内至少有一个零点.

练习册系列答案
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（2012•潍坊二模）已知函数f（x）=ax+x2，g（x）=xlna．a＞1．
（I）求证函数F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递增；
（II）若函数y=|F(x)-b+
1b
|-3有四个零点，求b的取值范围；
（III）若对于任意的x1，x2∈[-1，1]时，都有|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立，求a的取值范围．

设函数f(x)的定义域为R，若|f(x)|≤|x|对一切实数x均成立，则称函数f(x)为Ω函数．

(I)试判断函数f1(x)＝xsinx、和中哪些是Ω函数，并说明理由；

(II)若函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2，均有|f(x1)－f(x2)|≤|x1－x2|，求证：函数f(x)一定是Ω函数；

(III)求证：若a＞1，则函数f(x)＝ln(x2＋a)－lna是Ω函数．

（本小题满分12分）

        设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数”

   （I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

   （II）集合M中的元素具有下面的性质：若 的定义域为D，则对于任意成立。试用这一性质证明：方程只有一个实数根；

（III）对于M中的函数 的实数根，求证：对于定义域中任意的当且

 

（本小题满分12分）

已知函数

 （I）求证：函数上单调递增；

 （II）若方程有三个不同的实根，求t的值；

（III）对的取值范围。

 

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