Question

设函数f(x)的定义域为R，若|f(x)|≤|x|对一切实数x均成立，则称函数f(x)为Ω函数．

(I)试判断函数f₁(x)＝xsinx、和中哪些是Ω函数，并说明理由；

(II)若函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x₁、x₂，均有|f(x₁)－f(x₂)|≤|x₁－x₂|，求证：函数f(x)一定是Ω函数；

(III)求证：若a＞1，则函数f(x)＝ln(x²＋a)－lna是Ω函数．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(I)∵ 　　∴是函数；　　1分 　　∵，∴不满足 　　∴不是函数；　　3分 　　当时，，显然符合条件； 　　当时，， 　　∴是函数．　　4分 　　(II)∵函数是定义在上的奇函数 　　∴即．　　5分 　　∴即， 　　∴函数一定是函数．　　7分 　　(III)设，则． 　　①当时， 　　∵，∴， 　　当时，， 　　∴当时，． 　　∴在上减函数，．又 　　∴． 　　时， 　　∴函数在上增函数 　　． 　　，即． 　　②当，，∴． 　　显然为偶函数，∴，即． 　　∴在R上恒有成立，则函数一定是函数．　14分 　　说明：其他正确解法按相应步骤给分．