Question

已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：

△ABC的面积

△ACD的面积

=

AB2

AC2

=

BD

CD

．

Answer 1

分析：由AD是△ABC的外接圆的切线得到角相等进而得两个三角形相似，可得三角形的面积比与相似比的平方的关系，再结合三角形面积公式即可证得．

解答：证：因为AD是△ABC的外接圆的切线，
所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD
∴

△ABC的面积

△ACD的面积

=

AB2

AC2

作AE⊥BD于点E，
则

△ABC的面积

△ACD的面积

=

1 2 BD•AE

1 2 CD•AE

=

BD

CD

.
故得证．

点评：本题主要考查相似三角形的判定，在圆中找相等的角，依据是弦切角和同弧所对的圆周角相等相等，再根据相似三角形的判定即可得到．