Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=na_n-n²，求数列 {b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设{a_n}的前n项和为S_n，证明：不等式T_n+1≤4T_n对任意n∈N^*均成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把题设整理成a_n+1-（n+1）=4（a_n-n）的样式进而可知

an+1-(n+1)

an-n

=4为常数，判定数列{a_n-n}是等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的首项和公比可求得{a_n-n}的通项公式，进而根据题设求得数列{b_n}的通项公式，进而根据错位相减法求得数列{b_n}的前n项和S_n．
（Ⅲ）由（Ⅰ）a_n=4^n-1+n，从而可得数列{a_n}的前n项和Tn=(1+4+42+…+4n-1)+

n(n+1)

2

=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

，再利用作差法化简T_n+1-4T_n即可．

解答：解：（Ⅰ）由题设a_n+1=4a_n-3n+1，得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N*
又a₁-1=1≠0
∴

an+1-(n+1)

an-n

=4…（3分）
∴数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列
∴a_n-n=4^n-1即a_n=4^n-1+n（n∈N*）…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=n（a_n-n）=n•4^n-1…（5分）
∴S_n=1•4⁰+2•4¹+3•4²+…n•4^n-1…①
 4S_n=1•4¹+2•4²+3•4³+…（n-1）•4^n-1+n•4ⁿ…②…（6分）
由①-②得：-3S_n=1+4+4²+…4^n-1-n•4ⁿ…（7分）
=

1-4n

1-4

-n•4n=

4n-1

3

-n•4n…（8分）
∴Sn=

1-4n

9

+

n•4n

3

=

(3n-1)•4n+1

9

…（9分）

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）a_n=4^n-1+n
∴数列{a_n}的前n项和Tn=(1+4+42+…+4n-1)+

n(n+1)

2

=

1-4n

1-4

+

n(n+1)

2

=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

…（11分）
∴对于任意的n∈N*，
Tn+1-4Tn=

4n+1-1

3

+

(n+1)(n+2)

2

-

4(4n-1)

3

-

4n(n+1)

2

…（12分）
=1+

(n+1)(n+2-4n)

2

=

(n+1)(-3n+2)

2

+1=

-3n2-n+2

2

+1=-

1

2

(3n2+n-4)≤0…（13分）
即T_n+1≤4T_n对于?n∈N*成立…（14分）

点评：本题主要考查了等比数列的判定和数列的求和问题．当数列是由等比和等差数列构成时，常可用错位相减法求的数列的前n项和．应注意掌握作差法在证明不等式中的运用．