Question

已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设斜率为的直线与椭圆交于不同两点、，以线段为底边作等腰三角形，其中顶点的坐标为，求△的面积．

Answer 1

（1） ；（2）．

试题分析：(1)要确定椭圆方程，要确定两个参数的值，因此需要两个条件，题中有焦点为，
即，又椭圆过点，代入方程又得到一个关于的等式，联立可解得；(2) 直线和圆锥曲线相交问题，一般都是设出直线方程，本题直线的方程可设为，代入椭圆方程得到关于的一元二次方程，再设交点为，则可得，，而条件等腰三角形的应用方法是底边边上的中线就是此边上的高，即取中点为，则．由此可求得从而得到坐标，最终求得的面积．
试题解析：（1）由已知得，因为椭圆过点，所以   （2分）
解得                                （5分）
所以，椭圆的方程为．            （6分）
（2）设直线的方程为，              （1分）
由得 ① （2分）
因为直线与椭圆交于不同两点、，所以△，
所以．            （3分）
设，，则，是方程①的两根，所以，
设的中点为，则，， （4分）
因为是等腰三角形的底边，所以，向量是直线的一个法向量，
所以∥向量，即∥向量，
所以，解得．    （5分）
此时方程①变为，解得，，所以．
又到直线：的距离， （7分）
所以△的面积．   （8分）