Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，则此双曲线的离心率为

 

；  又若双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,作图题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，圆C：x²+y²-6x+5=0的方程可化为（x-3）²+y²=4；从而可得故

b

a

=

2

5

；从而求离心率；再由双曲线的焦点到渐近线的距离为2可得b=2；从而求方程．

解答： 解：由题意，圆C：x²+y²-6x+5=0的方程可化为
（x-3）²+y²=4；
故OC=3，BC=2，OB=

5

；
故

b

a

=

2

5

；
故e=

c

a

=

1+( b a )2

=

3 5

5

；
设双曲线的焦点为（c，0）；
其一条渐近线方程为

x

a

+

y

b

=0，
即bx+ay=0；
故双曲线的焦点到渐近线的距离d=

|bc|

a2+b2

=b=2；
故a=

5

；故此双曲线的方程为

x2

5

-

y2

4

=1；
故答案为：

3 5

5

；

x2

5

-

y2

4

=1．

点评：本题考查了双曲线的定义及性质应用，属于基础题．