题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，短轴的一个端点到右焦点的距离为
3

（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点（0，2）直线l与C交于A，B，若∠AOB为锐角，求直线l的斜率的取值范围．
（1）由e2=
2
3
得a2=3b2，又由题意知a=
3
，所以b=1，所以
x2
3
+y2=1…（4分）
（2）设直线方程为y=kx+2，所以
y=kx+2
x2+3y2=3
?(3k 2+1)x2+12kx+9=0，…（2分）
由题意知△=144k2-36（3k2+1）＞0，解得k2＞1…（1分）
又
x1+x2=
-12k
3k2+1
x1x2=
9
3k2+1
，由∠AOB为锐角可得，
OA
•
OB
＞0即x1x2+y1y2＞0…（2分）
所以（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，代解得k2＜
13
3
…（2分）
综上可得1＜k2＜
13
3
…（1分）
练习册系列答案
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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