Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知sinB=$\frac{5}{13}$，且$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=12．
（1）求△ABC的面积；
（2）若a，b，c成等差数列，求b的值．

Answer 1

分析 （1）展开数量积，可得cosB＞0，由sinB=$\frac{5}{13}$，求得cosB，进一步得到ac，代入三角形面积公式求得答案；
（2）由a，b，c成等差数列，得2b=a+c，结合余弦定理即可求得b值．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=12，得ca•cosB=12，可得cosB＞0，
由sinB=$\frac{5}{13}$，可得cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}=\sqrt{1-（\frac{5}{13}）^{2}}=\frac{12}{13}$，
即有ac=13，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ac•sinB=\frac{1}{2}×13×\frac{5}{13}=\frac{5}{2}$；
（2）由a，b，c成等差数列，得2b=a+c，
在△ABC中，由余弦定理得${b}^{2}={a}^{2}+{c}^{2}-2ac•cosB=（a+c）^{2}-2ac-2ac×\frac{12}{13}$，
即${b}^{2}=4{b}^{2}-2×13-2×13×\frac{12}{13}$，解得b=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，注意运用等差数列的性质和正弦定理，三角函数的恒等变换公式，考查向量的数量积的定义，以及正余弦定理的运用，属于中档题．