Question

（本小题12分）已知函数f(x)＝ax³＋x²－2x＋c，过点，且在（－2，1）内单调递减，在[1，上单调递增。
（1）证明sinθ=1，并求f(x)的解析式。
（2）若对于任意的x₁，x₂∈[m，m＋3]（m≥0），不等式|f(x₁)－f(x₂)|≤恒成立。试问这样的m是否存在，若存在，请求出m的范围，若不存在，说明理由。
（3）已知数列{a_n}中，a₁∈，a_n＋1＝f(a_n)，求证：a_n＋1>8·lna_n（n∈N^*）。

Answer 1

（1）f(x)=即为所求，（2）存在m且m∈[0，1]合乎题意（3）同解析。

解：（1）∵(x)=3ax²+sinθx-2
由题设可知：即∴sinθ=1。（2分）
从而a=，∴f(x)=，而又由f(1)=得，c=
∴f(x)=即为所求。                            （4分）
（2）(x)=x²+x-2=(x+2)(x-1)易知f(x)在（-∞，-2）及（1，+∞）上均为增函数，在（-2，1）上为减函数。
（i）当m>1时，f(x)在[m，m+3]上递增。故f(x)_max=f(m+3)，f(x)_min=f(m)
由f(m+3)-f(m)=(m+3)³+(m+3)²-2(m+3)-=3m²+12m+得-5≤m≤1。这与条件矛盾故舍。                                       （6分）
（ii）当0≤m≤1时，f(x)在[m，1]上递减，在[1，m+3]上递增。
∴f(x)_min=f(1)，f(x)_max={f(m)，f(m+3)}_max
又f(m+3)-f(m)=3m²+12m+=3(m+2)²->0（0≤m≤1），∴f(x)_max=f(m+3)
∴|f(x₁)-f(x₂)| ≤f(x)_max-f(x)_min="f(m+3)-f(1)" ≤f(4)-f(1)=恒成立
故当0≤m≤1原式恒成立。                                           （8分）
综上：存在m且m∈[0，1]合乎题意。                              （9分）
（3）∵a₁∈(0，1，∴a₂∈，故a₂>2
假设n=k（k≥2，k∈N*）时，a_k>2。则a_k+1=f(a_k)>f(2)=8>2
故对于一切n（n≥2，n∈N*）均有a_n>2成立。                      （11分）
令g(x)=
得=
当x∈（0，2）时(x)<0，x∈（2，+∞）时，(x)>0，
∴g(x)在x∈[2，+∞时为增函数。
而g(2)=8-8ln²>0，即当x∈[2，+∞时，g(x)≥g(2)>0恒成立。
∴g(a_n)>0，（n≥2）也恒成立。即：a_n+1>8lna_n（n≥2）恒成立。
而当n=1时，a₂=8，而8lna₁≤0，∴a₂>8lna₁显然成立。
综上：对一切n∈N*均有a_n+1>8lna_n成立。