Question

如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC，，G，H分别为FA，FD的中点

(Ⅰ)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(Ⅱ)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

(Ⅲ)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE；

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)由题意知， 　　所以 　　又，故 　　所以四边形是平行四边形． 　　(Ⅱ)四点共面．理由如下： 　　由，是的中点知，，所以 　　由(Ⅰ)知，所以，故共面．又点在直线上 　　所以四点共面． 　　(Ⅲ)连结，由，及知是正方形 　　故．由题设知两两垂直，故平面， 　　因此是在平面内的射影，根据三垂线定理， 　　又，所以平面 　　由(Ⅰ)知，所以平面． 　　由(Ⅱ)知平面，故平面，得平面平面 　　解法二： 　　由平面平面，，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 　　(Ⅰ)设，则由题设得 　　 　　所以 　　于是 　　又点不在直线上 　　所以四边形是平行四边形． 　　(Ⅱ)四点共面．理由如下： 　　由题设知，所以 　　 　　又，故四点共面． 　　(Ⅲ)由得，所以 　　又，因此 　　即 　　又，所以平面 　　故由平面，得平面平面