Question

（2012•东至县模拟）定义在（0，+∞）上的函数f（x）=x²-alnx，g（x）=x-a

x

，且f（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）确定函数g（x）的单调性．
（Ⅱ）证明：当1＜x＜e²时，恒有x＜

2+lnx

2-lnx

成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x）在x=1处取极值，求得a的值，从而可得g（x）=x-2

x

，再求导函数，即可求得g（x）的单调区间；（Ⅱ） 当1＜x＜e²时，0＜lnx＜2，要证x＜

2+lnx

2-lnx

等价于x（2-lnx）＜2+lnx，即lnx＞

2(x-1)

1+x

，构造h（x）=lnx-

2(x-1)

1+x

，证明h（x）在区间（1，e²）上为增函数，从而当1＜x＜e²时，h（x）＞h（1）=0，即lnx＞

2(x-1)

1+x

，故问题得证．

解答：（Ⅰ）解：函数f（x）=x²-alnx，则f′(x)=2x-

a

x

，
∵f（x）在x=1处取极值
∴f′（1）=0
∴2-a=0
∴a=2．…（3分）
∴g（x）=x-2

x

，∴g′(x)=1-

1

x

．
由g′(x)=1-

1

x

＞0，可得x＞1，由g′(x)=1-

1

x

＜0，可得0x＜1，…（…（5分）
所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．…（6分）
（Ⅱ）证明：当1＜x＜e²时，0＜lnx＜2，要证x＜

2+lnx

2-lnx

等价于x（2-lnx）＜2+lnx，即lnx＞

2(x-1)

1+x

设h（x）=lnx-

2(x-1)

1+x

，则h′（x）=

1

2

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

．…（10分）
∴当1＜x＜e²时，h′（x）＞0，
所以h（x）在区间（1，e²）上为增函数．…（12分）
从而当1＜x＜e²时，h（x）＞h（1）=0，即lnx＞

2(x-1)

1+x

，故x＜

2+lnx

2-lnx

 …（14分）．

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查利用函数的单调性证明不等式，解题的关键是等价转化，构建新函数．