Question

（2012•东至县模拟）已知命题p：|x-1|+|x+1|≥3a恒成立，命题q：y=（2a-1）^x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是

（

1

2

，

2

3

]

．

Answer 1

分析：利用绝对值的几何意义结合恒成立的解决方法可求的命题p为真时a的范围，然后用指数函数的知识可以求出命题q为真时a的范围，进而求交集得出a的取值范围．

解答：解：∵p且q为真命题，
∴命题p与命题q均为真命题．
当命题p为真命题时：
∵|x-1|+|x+1|≥3a恒成立，
∴只须|x-1|+|x+1|的最小值≥3a即可，
而有绝对值的几何意义得|x-1|+|x+1|≥2，
即|x-1|+|x+1|的最小值为2，
∴应有：3a≤2，解得：a≤

2

3

，①．
当命题q为真命题时：
∵y=（2a-1）^x为减函数，
∴应有：0＜2a-1＜1，解得：

1

2

＜a＜1，②．
综上①②得，a的取值范围为：

1

2

＜a≤

2

3

即：（

1

2

，

2

3

]．
故答案为：（

1

2

，

2

3

]．

点评：本题以恒成立为载体结合绝对值的几何意义、指数函数的单调性考查复合命题的真假判断，属于综合性的题目，要加以训练．