题目内容
（2012•东至县模拟）已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：
+
≥1．
| a2 |
| a+1 |
| b2 |
| b+1 |
分析：所以原不等式等价于 a2+b2+ab（a+b）≥ab+a+b+1，将a+b=2代入，只需要证明ab≤1．再利用基本不等式可得
+
≥a，
+
≥b，相加即可证得不等式成立．
| a2 |
| a+1 |
| a+1 |
| 4 |
| b2 |
| b+1 |
| b+1 |
| 4 |
解答：证明：因为a，b都是正实数，所以原不等式等价于a2（b+1）+b2（a+1）≥（a+1）（b+1），
即 a2b+a2+ab2+b2≥ab+a+b+1．
等价于 a2+b2+ab（a+b）≥ab+a+b+1，…（6分）
将a+b=2代入，只需要证明 a2+b2+ab=（a+b）2=4≥ab+3，即ab≤1．
而由已知 a+b=2≥2
，可得ab≤1成立，所以原不等式成立． …（12分）
另证：因为a，b都是正实数，所以
+
≥a，
+
≥b． …（6分）
两式相加得
+
+
+
≥a+b，…（8分）
因为 a+b=2，所以
+
≥1． …（12分）
即 a2b+a2+ab2+b2≥ab+a+b+1．
等价于 a2+b2+ab（a+b）≥ab+a+b+1，…（6分）
将a+b=2代入，只需要证明 a2+b2+ab=（a+b）2=4≥ab+3，即ab≤1．
而由已知 a+b=2≥2
| ab |
另证：因为a，b都是正实数，所以
| a2 |
| a+1 |
| a+1 |
| 4 |
| b2 |
| b+1 |
| b+1 |
| 4 |
两式相加得
| a2 |
| a+1 |
| a+1 |
| 4 |
| b2 |
| b+1 |
| b+1 |
| 4 |
因为 a+b=2，所以
| a2 |
| a+1 |
| b2 |
| b+1 |
点评：本题主要考查基本不等式的应用，用分析法和综合法证明不等式，属于中档题．
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