Question

15．已知函数f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（2-m）≥0，求实数m．

Answer 1

分析 （1）利用奇偶性的定义判断f（x）为奇函数；
（2）直接运用单调性的定义作差证明f（x）为增函数；
（3）运用函数的单调性，奇偶性列出不等式组求解．

解答 解：（1）∵f（x）=2^x-$\frac{1}{2^x}$=2^x-2^-x，∴f（x）的定义域为R，
且f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），因此，f（x）为奇函数；
（2）f（x）为R上的增函数，证明过程如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{-{x}_{1}}$）-（${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{-x}_{2}}$）
=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）+（${2}^{{-x}_{2}}$-${2}^{-{x}_{1}}$）=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）[1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$]，
∵x₁＜x₂，所以，${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，∴f（x₁）-f（x₂）＜0恒成立，
即f（x）为R上的增函数；
（3）因为，f（x）为R上的奇函数，增函数，
所以，f（1-m）+f（2-m）≥0可化为：f（1-m）≥f（m-2），
该不等式等价为：$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-m＜1}\\{-1＜2-m＜1}\\{1-m≥m-2}\end{array}\right.$，解得，m∈（1，$\frac{3}{2}$]，
即实数m的取值范围为（1，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断和证明，以及函数单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题．