Question

20．已知$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$=3，求$\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}+2}{{x}^{2}+{x}^{-2}+3}$的值．

Answer 1

分析 $\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$=3，可得x+x^-1=$（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}$-2．x²+x^-2=（x+x^-1）²-2．代入即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$=3，∴x+x^-1=$（\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}$-2=7．
x²+x^-2=（x+x^-1）²-2=47．
∴$\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}+2}{{x}^{2}+{x}^{-2}+3}$=$\frac{（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）（x-1+{x}^{-1}）+2}{{x}^{2}+{x}^{-2}+3}$=$\frac{3×（7-1）+2}{47+3}$=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．