Question

（I）设a＞0，b＞0求证：a³+b³≥a²b+ab²
（II）设a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c不且相等，求证：lg

a+b

2

+lg

b+c

2

+lg

c+a

2

＞lga+lgb+lgc．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a³+b³≥a²b+ab²?a³+b³-a²b-ab²≥0?（a-b）²（a+b）≥0，结合a＞0，b＞0，问题即可解决；
（Ⅱ）a＞0，b＞0，c＞0，⇒

a+b

2

≥

ab

，

b+c

2

≥

bc

，

a+c

2

≥

ac

，于是lg

a+b

2

≥lg

ab

=

1

2

（lga+lgb），同理可得lg

b+c

2

≥

1

2

（lab+lgc），lg

a+c

2

≥

1

2

（lga+lgc），又a，b，c不且相等，同向不等式相加即可．

解答：证明：（Ⅰ）∵a³+b³-a²b-ab²=a²（a-b）-b²（a-b）=（a-b）²（a+b），
又a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，（a-b）²≥0，
∴（a-b）²（a+b）≥0，
∴a³+b³≥a²b+ab²；
（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴

a+b

2

≥

ab

，

b+c

2

≥

bc

，

a+c

2

≥

ac

，
∴lg

a+b

2

≥lg

ab

=

1

2

（lga+lgb）①，同理可得lg

b+c

2

≥

1

2

（lab+lgc）②，lg

a+c

2

≥

1

2

（lga+lgc）③，
①+②+③得：
lg

a+b

2

+lg

b+c

2

+lg

c+a

2

≥lga+lgb+lgc
又a，b，c不全相等，
∴lg

a+b

2

+lg

b+c

2

+lg

c+a

2

＞lga+lgb+lgc．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查证明不等式的方法：作差法与综合法，注重基本不等式性质的应用，属于中档题．